Постройте график функции y=cases -x^(2)-4x+1, & x -3, -x-2, & x<-3. cases Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Построение графика. 1) При x -3: y=-x^(2)-4x+1=-(x^(2)+4x+4)+5=-(x+2)^(2)+5 — часть параболы с вершиной (-2;5), ветви вниз. Левый конец — точка (-3;4) (входит в график). На отрезке [-3;-2] функция возрастает от 4 до 5, при x -2 убывает от 5 до -inf. 2) При x<-3: y=-x-2 — луч прямой без концевой точки (-3;1). При x<-3 имеем -x>3, значит y>1, и y+inf при x-inf. Сколько общих точек даёт каждая часть с прямой y=m. Параболическая часть (x -3): множество значений возрастающего куска — [4;5], убывающего — (-inf;5]. Поэтому m>5 — 0 точек; m=5 — 1 точка (вершина); 4 m<5 — 2 точки; m<4 — 1 точка. Линейная часть (x<-3): y=-x-2 принимает ровно все значения m>1, каждое — один раз. Значит при m>1 — 1 точка, при m 1 — 0 точек. Суммируем. m>5: 0+1=1; m=5: 1+1=2 — подходит; 4 m<5: 2+1=3; 1<m<4: 1+1=2 — подходит; m 1: 1+0=1. Проверка: при m=3 парабола даёт (x+2)^(2)=2, т.е. x=-2+2 (подходит) и x=-2-2<-3 (не входит в область) — одна точка; прямая даёт x=-5 — вторая точка. Итого 2. Ответ: 1<m<4 и m=5.

1 < m < 4; m = 5