Задача №19480

Постройте график функции

$$y=\{\begin{array}{ll}-x^2-4x+1,& x⩾-3,\\ -x-2,& x<-3.\end{array}$$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Построение графика.

1) При $x⩾-3\text{:}$ $y=-x^2-4x+1=-(x^2+4x+4)+5=-(x+2{)}^2+5$ — часть параболы с вершиной $(-2;5)\text{,}$ ветви вниз. Левый конец — точка $(-3;4)$ (входит в график). На отрезке $[-3;-2]$ функция возрастает от $4$ до $5\text{,}$ при $x⩾-2$ убывает от $5$ до $-\infty \text{.}$

2) При $x<-3\text{:}$ $y=-x-2$ — луч прямой без концевой точки $(-3;1)\text{.}$ При $x<-3$ имеем $-x>3\text{,}$ значит $y>1\text{,}$ и $y\to +\infty$ при $x\to -\infty \text{.}$

Сколько общих точек даёт каждая часть с прямой $y=m\text{.}$

Параболическая часть ($x⩾-3$): множество значений возрастающего куска — $[4;5]\text{,}$ убывающего — $(-\infty ;5]\text{.}$ Поэтому

• $m>5$ — $0$ точек;
• $m=5$ — $1$ точка (вершина);
• $4⩽m<5$ — $2$ точки;
• $m<4$ — $1$ точка.

Линейная часть ($x<-3$): $y=-x-2$ принимает ровно все значения $m>1\text{,}$ каждое — один раз. Значит при $m>1$ — $1$ точка, при $m⩽1$ — $0$ точек.

Суммируем.

• $m>5\text{:}$ $0+1=1\text{;}$
• $m=5\text{:}$ $1+1=2$ — подходит;
• $4⩽m<5\text{:}$ $2+1=3\text{;}$
• $1<m<4\text{:}$ $1+1=2$ — подходит;
• $m⩽1\text{:}$ $1+0=1\text{.}$

Проверка: при $m=3$ парабола даёт $(x+2{)}^2=2\text{,}$ т.е. $x=-2+\sqrt{2}$ (подходит) и $x=-2-\sqrt{2}<-3$ (не входит в область) — одна точка; прямая даёт $x=-5$ — вторая точка. Итого $2\text{.}$

Ответ: $1<m<4$ и $m=5\text{.}$