Задача №19477

Укажите решение неравенства

$(x+5)(x-9)>0\text{.}$

1) $(-5;+\infty )$

2) $(-5;9)$

3) $(9;+\infty )$

4) $(-\infty ;-5)\cup (9;+\infty )$

Неравенство $(x+5)(x-9)>0$ уже разложено на множители, поэтому применим метод интервалов.

Шаг 1. Нули левой части.

$x+5=0\Rightarrow x=-5\text{;}$ $x-9=0\Rightarrow x=9\text{.}$

Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка: $(-\infty ;-5)\text{,}$ $(-5;9)\text{,}$ $(9;+\infty )\text{.}$

Шаг 2. Знаки на промежутках.

Ветви параболы $y=(x+5)(x-9)$ направлены вверх (старший коэффициент $1>0$), корни простые, поэтому знаки чередуются: $+\text{,}$ $-\text{,}$ $+\text{.}$

Проверим подстановкой:

• $x=-6\text{:}$ $(-6+5)(-6-9)=(-1)\cdot (-15)=15>0\text{;}$
• $x=0\text{:}$ $(0+5)(0-9)=5\cdot (-9)=-45<0\text{;}$
• $x=10\text{:}$ $(10+5)(10-9)=15\cdot 1=15>0\text{.}$

Шаг 3. Отбор.

Неравенство строгое ($>0$), значит корни $-5$ и $9$ не входят в ответ, и берём промежутки со знаком «плюс»:

$$x\in (-\infty ;-5)\cup (9;+\infty ).$$

Это вариант 4.

Ответ: 4.