Задача №19472

Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна 40, а $\mathrm{tg}\angle BCA=0,3\text{.}$ Найдите площадь ромба.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения $O$ делятся пополам. Так как $AC=40\text{,}$ то $OC=OA=20\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BOC$ (угол $BOC$ прямой). Точки $A\text{,}$ $O\text{,}$ $C$ лежат на одной прямой, поэтому $\angle BCO=\angle BCA\text{.}$ Тогда

$$\mathrm{tg}\angle BCA=\frac{BO}{OC},$$

откуда $BO=OC\cdot \mathrm{tg}\angle BCA=20\cdot 0,3=6.$

Вторая диагональ $BD=2\cdot BO=12\text{.}$

Площадь ромба через диагонали:

$$S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot 12=240.$$

Ответ: 240.