Постройте график функции y=cases x^(2)-6x+10, & x 1, x+2, & x<1. cases Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Функция задана двумя формулами. Правая часть (x 1): парабола y=x^2-6x+10. Выделим полный квадрат: y=(x-3)^2+1. Ветви вверх, вершина (3;1). На отрезке [1;3] функция убывает от y(1)=1-6+10=5 до y(3)=1; на [3;+inf) возрастает от 1 до +inf. Точка (1;5) входит в график (закрашена). Левая часть (x<1): прямая y=x+2. При x 1^- значение стремится к 3, но точка (1;3) в график не входит (выколота). Значения прямой заполняют промежуток (-inf;3), каждое значение достигается один раз. В точке x=1 график терпит разрыв: у прямой предел 3 (выколото), у параболы значение 5 (закрашено). Сколько точек пересечения даёт прямая y=m: С параболой (x 1): m<1 — нет точек; m=1 — одна точка (вершина x=3); 1<m 5 — две точки (одна на убывающей ветви [1;3), одна на возрастающей (3;+inf); при m=5 это x=1 и x=5); m>5 — одна точка (только возрастающая ветвь). С прямой (x<1): m<3 — одна точка; m 3 — нет точек (значение 3 выколото). Суммарное число общих точек: | m | парабола | прямая | всего | |---|---|---|---| | m<1 | 0 | 1 | 1 | | m=1 | 1 | 1 | 2 | | 1<m<3 | 2 | 1 | 3 | | 3 m 5 | 2 | 0 | 2 | | m>5 | 1 | 0 | 1 | Ровно две общие точки прямая y=m имеет при m=1 и при 3 m 5. Ответ: m=1; 3 m 5.

m=1; 3⩽m⩽5