Задача №19460

Постройте график функции

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2-6x+10,& x⩾1,\\ x+2,& x<1.\end{array}$$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Функция задана двумя формулами.

Правая часть ($x⩾1$): парабола $y=x^2-6x+10\text{.}$ Выделим полный квадрат: $y=(x-3{)}^2+1\text{.}$ Ветви вверх, вершина $(3;1)\text{.}$ На отрезке $[1;3]$ функция убывает от $y(1)=1-6+10=5$ до $y(3)=1\text{;}$ на $[3;+\infty )$ возрастает от $1$ до $+\infty \text{.}$ Точка $(1;5)$ входит в график (закрашена).

Левая часть ($x<1$): прямая $y=x+2\text{.}$ При $x\to 1^{-}$ значение стремится к $3\text{,}$ но точка $(1;3)$ в график не входит (выколота). Значения прямой заполняют промежуток $(-\infty ;3)\text{,}$ каждое значение достигается один раз.

В точке $x=1$ график терпит разрыв: у прямой предел $3$ (выколото), у параболы значение $5$ (закрашено).

Сколько точек пересечения даёт прямая $y=m\text{:}$

С параболой ($x⩾1$):

• $m<1$ — нет точек;
• $m=1$ — одна точка (вершина $x=3$);
• $1<m⩽5$ — две точки (одна на убывающей ветви $[1;3)\text{,}$ одна на возрастающей $(3;+\infty )\text{;}$ при $m=5$ это $x=1$ и $x=5$);
• $m>5$ — одна точка (только возрастающая ветвь).

С прямой ($x<1$):

• $m<3$ — одна точка;
• $m⩾3$ — нет точек (значение $3$ выколото).

Суммарное число общих точек:

Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=1$ и при $3⩽m⩽5\text{.}$

Ответ: $m=1\text{;}$ $3⩽m⩽5\text{.}$