Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями? 1) Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую. 2) Любые два равносторонних треугольника подобны. 3) Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, – прямой.

Проверим каждое высказывание. 1) «Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую» — ложно. Через одну точку плоскости проходит бесконечно много прямых. Единственность прямой гарантирует аксиома о двух различных точках: через любые две различные точки проходит ровно одна прямая. 2) «Любые два равносторонних треугольника подобны» — истинно. В равностороннем треугольнике все углы равны 60^. Значит, у любых двух равносторонних треугольников соответственные углы равны, и по первому признаку подобия (по двум углам) такие треугольники подобны. (Равносильно: если стороны равны a и b, то (a)/(b)=(a)/(b)=(a)/(b) — все три отношения равны, третий признак подобия.) 3) «Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, — прямой» — истинно. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Диаметр стягивает дугу в 180^, поэтому вписанный угол равен (180^)/(2)=90^, то есть прямой (следствие теоремы о вписанном угле). Истинны утверждения 2 и 3. Ответ: 23

23