Задача №19455

Постройте график функции

$$y=\{\begin{array}{ll}-x^2+2x+3,& \text{при }x⩾-1,\\ -x+1,& \text{при }x<-1.\end{array}$$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

1. Разбираем куски графика.

При $x⩾-1\text{:}$ $y=-x^2+2x+3=-(x-1{)}^2+4$ — часть параболы ветвями вниз с вершиной $(1;4)\text{.}$ Левый конец: при $x=-1$ получаем $y=-1-2+3=0\text{,}$ точка $(-1;0)$ включена (закрашена). На $[-1;1]$ функция возрастает от $0$ до $4\text{,}$ на $[1;+\infty )$ убывает от $4$ до $-\infty \text{.}$

При $x<-1\text{:}$ $y=-x+1$ — луч прямой. При $x=-1$ было бы $y=2\text{,}$ но точка $(-1;2)$ выколота. При $x\to -\infty$ имеем $y\to +\infty \text{,}$ функция убывает. Значит луч принимает ровно все значения $y>2\text{,}$ каждое по одному разу.

2. Считаем число общих точек с прямой $y=m\text{.}$

Часть-парабола ($x⩾-1$): решаем $-x^2+2x+3=m\text{,}$ то есть $(x-1{)}^2=4-m\text{,}$ откуда $x=1\pm \sqrt{4-m}\text{.}$ Условие $x⩾-1$ для меньшего корня: $1-\sqrt{4-m}⩾-1⟺\sqrt{4-m}⩽2⟺m⩾0\text{.}$ Итого:

• $m>4$ — общих точек нет;
• $m=4$ — одна точка (вершина);
• $0⩽m<4$ — две точки;
• $m<0$ — одна точка (только на убывающей ветви).

Луч ($x<-1$): $-x+1=m\Rightarrow x=1-m\text{,}$ и $1-m<-1⟺m>2\text{.}$ Значит луч даёт одну точку при $m>2$ и ни одной при $m⩽2\text{.}$

3. Складываем.

Ровно две общие точки получаются при $0⩽m⩽2$ и при $m=4\text{.}$

Проверка $m=2\text{:}$ парабола даёт $x=1\pm \sqrt{2}$ (оба $⩾-1$), а луч — $x=-1\text{,}$ что не входит в $x<-1\text{;}$ ровно 2 точки. Проверка $m=4\text{:}$ вершина $x=1$ и точка луча $x=-3\text{;}$ ровно 2 точки.

Ответ: $0⩽m⩽2$ и $m=4\text{.}$