Постройте график функции y=cases -x^(2)+2x+3, & при x -1, -x+1, & при x<-1. cases Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Разбираем куски графика. При x -1: y=-x^(2)+2x+3=-(x-1)^(2)+4 — часть параболы ветвями вниз с вершиной (1;4). Левый конец: при x=-1 получаем y=-1-2+3=0, точка (-1;0) включена (закрашена). На [-1;1] функция возрастает от 0 до 4, на [1;+inf) убывает от 4 до -inf. При x<-1: y=-x+1 — луч прямой. При x=-1 было бы y=2, но точка (-1;2) выколота. При x-inf имеем y+inf, функция убывает. Значит луч принимает ровно все значения y>2, каждое по одному разу. Считаем число общих точек с прямой y=m. Часть-парабола (x-1): решаем -x^(2)+2x+3=m, то есть (x-1)^(2)=4-m, откуда x=1+-sqrt(4-m). Условие x-1 для меньшего корня: 1-sqrt(4-m)-1(4-m)2 m0. Итого: m>4 — общих точек нет; m=4 — одна точка (вершина); 0 m<4 — две точки; m<0 — одна точка (только на убывающей ветви). Луч (x<-1): -x+1=m=> x=1-m, и 1-m<-1 m>2. Значит луч даёт одну точку при m>2 и ни одной при m2. Складываем. | m | парабола | луч | всего | |---|---|---|---| | m<0 | 1 | 0 | 1 | | 0 m 2 | 2 | 0 | 2 | | 2<m<4 | 2 | 1 | 3 | | m=4 | 1 | 1 | 2 | | m>4 | 0 | 1 | 1 | Ровно две общие точки получаются при 0 m2 и при m=4. Проверка m=2: парабола даёт x=1+-2 (оба -1), а луч — x=-1, что не входит в x<-1; ровно 2 точки. Проверка m=4: вершина x=1 и точка луча x=-3; ровно 2 точки. Ответ: 0 m 2 и m=4.

\(0 \le m \le 2\) и \(m = 4\)