Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.

Пусть внутренняя общая касательная касается окружности с центром P в точке A, окружности с центром Q — в точке B, а отрезок PQ пересекает её в точке M, причём PM:MQ=a:b. Точка M лежит между P и Q, а точки A и B — по разные стороны от M. Касательная называется внутренней, значит окружности лежат по разные стороны от неё; поэтому центры P и Q также лежат по разные стороны от прямой AB, и отрезок PQ пересекает эту прямую во внутренней точке M. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Отсюда PA AB и QB AB, то есть PAM = QBM = 90^. Треугольники PAM и QBM подобны. Углы AMP и BMQ — вертикальные (лучи MA и MB противоположно направлены, лучи MP и MQ тоже), поэтому AMP = BMQ. Вместе с равными прямыми углами из шага 2 получаем подобие по двум углам: PAM QBM. Переход к отношению радиусов. Из подобия соответственные стороны пропорциональны: (PA)/(QB) = (PM)/(QM) = (a)/(b). Но PA=R и QB=r — радиусы данных окружностей, значит R:r = a:b. Диаметры равны 2R и 2r, поэтому (2R)/(2r) = (R)/(r) = (a)/(b). Ответ: диаметры окружностей относятся как a:b, что и требовалось доказать.

Доказательство