Задача №19451

Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ не имеют общих точек, и ни одна
из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $a:b\text{.}$ Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $a:b\text{.}$

Пусть внутренняя общая касательная касается окружности с центром $P$ в точке $A\text{,}$ окружности с центром $Q$ — в точке $B\text{,}$ а отрезок $PQ$ пересекает её в точке $M\text{,}$ причём $PM:MQ=a:b\text{.}$

1. Точка $M$ лежит между $P$ и $Q\text{,}$ а точки $A$ и $B$ — по разные стороны от $M\text{.}$

Касательная называется внутренней, значит окружности лежат по разные стороны от неё; поэтому центры $P$ и $Q$ также лежат по разные стороны от прямой $AB\text{,}$ и отрезок $PQ$ пересекает эту прямую во внутренней точке $M\text{.}$

2. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Отсюда $PA\perp AB$ и $QB\perp AB\text{,}$ то есть

3. Треугольники $PAM$ и $QBM$ подобны.

Углы $\angle AMP$ и $\angle BMQ$ — вертикальные (лучи $MA$ и $MB$ противоположно направлены, лучи $MP$ и $MQ$ тоже), поэтому $\angle AMP=\angle BMQ\text{.}$ Вместе с равными прямыми углами из шага 2 получаем подобие по двум углам:

4. Переход к отношению радиусов.

Из подобия соответственные стороны пропорциональны:

Но $PA=R$ и $QB=r$ — радиусы данных окружностей, значит $R:r=a:b\text{.}$ Диаметры равны $2R$ и $2r\text{,}$ поэтому

Ответ: диаметры окружностей относятся как $a:b\text{,}$ что и требовалось доказать.