Задача №19444

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

1) Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

2) Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

3) Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

Проверим каждое утверждение.

1) «Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.» — неверно.
Сумма углов ЛЮБОГО треугольника равна $180^{\circ }\text{.}$ У прямоугольного треугольника $90^{\circ }$ составляет сумма двух его острых углов, а не всех трёх.

2) «Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.» — неверно.
Если треугольники подобны с коэффициентом $k\text{,}$ то отношение их площадей равно $k^2\text{:}$ $\frac{S_1}{S_2}=k^2\text{.}$ Коэффициенту подобия равно отношение сходственных сторон (и вообще любых линейных элементов).

3) «Любой прямоугольник можно вписать в окружность.» — верно.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому все четыре вершины равноудалены от точки пересечения диагоналей $O$ на расстояние $\frac{d}{2}\text{,}$ где $d$ — диагональ. Значит, окружность с центром $O$ радиуса $\frac{d}{2}$ проходит через все вершины. (Эквивалентно: сумма противоположных углов прямоугольника равна $90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }$ — признак вписанного четырёхугольника.)

Ответ: 3.