Задача №19442

Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O\text{.}$ Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB\text{.}$ Найдите угол $ACB\text{,}$ если угол $AOB$ равен $115^{\circ }\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Хорда $AB$ делит окружность на две дуги. Центральный угол $AOB=115^{\circ }$ опирается на меньшую дугу $AB\text{,}$ поэтому её градусная мера равна $115^{\circ }\text{,}$ а большая дуга равна $360^{\circ }-115^{\circ }=245^{\circ }\text{.}$

Центр $O$ лежит в той же полуплоскости относительно $AB\text{,}$ что и большая дуга. По условию точка $C$ лежит с $O$ в одной полуплоскости, значит $C$ принадлежит большей дуге, и вписанный угол $ACB$ опирается на меньшую дугу $AB\text{.}$

Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу:

$$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{115^{\circ }}{2}=57,5^{\circ }.$$

Ответ: $57,5\text{.}$