Задача №19432

Постройте график функции

$y=\{\begin{array}{lll}\begin{array}{l}x-4\\ -1,5x+4,5\\ 1,5x-7,5\end{array}& \begin{array}{l}\text{при}\\ \text{при}\\ \text{при}\end{array}& \begin{array}{l}x<3,\\ 3⩽x⩽4,\\ x>4.\end{array}\end{array}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Построение графика. График состоит из трёх кусков линейных функций.

1) При $x<3\text{:}$ $y=x-4$ — открытый луч возрастающей прямой. При $x\to 3^{-}$ имеем $y\to -1\text{,}$ точка $(3;-1)$ выколота. Этот кусок принимает все значения $y<-1\text{,}$ причём каждое ровно один раз.

2) При $3⩽x⩽4\text{:}$ $y=-1,5x+4,5$ — отрезок с концами

$$x=3:y=-1,5\cdot 3+4,5=0,x=4:y=-1,5\cdot 4+4,5=-1,5.$$

Функция убывает, обе точки $(3;0)$ и $(4;-1,5)$ принадлежат графику. Этот кусок принимает каждое значение $y\in [-1,5;0]$ ровно один раз.

3) При $x>4\text{:}$ $y=1,5x-7,5$ — открытый луч возрастающей прямой. При $x\to 4^{+}$ имеем $y\to -1,5\text{,}$ точка $(4;-1,5)$ выколота (но она уже есть на отрезке). Этот кусок принимает каждое значение $y>-1,5$ ровно один раз.

Подсчёт общих точек с прямой $y=m\text{.}$ Складываем количество пересечений по кускам:

• $m<-1,5\text{:}$ только луч 1 → 1 точка;
• $m=-1,5\text{:}$ луч 1 ($x=2,5$) и отрезок ($x=4$); луч 3 не даёт точки, так как там $x>4$ → 2 точки;
• $-1,5<m<-1\text{:}$ луч 1, отрезок и луч 3 → 3 точки;
• $m=-1\text{:}$ луч 1 не даёт точки (получилось бы $x=3\text{,}$ а там $x<3$), отрезок ($x=\frac{11}{3}$) и луч 3 ($x=\frac{13}{3}$) → 2 точки;
• $-1<m⩽0\text{:}$ отрезок и луч 3 → 2 точки;
• $m>0\text{:}$ только луч 3 → 1 точка.

Ровно две общие точки получаются при $m=-1,5$ и при $-1⩽m⩽0\text{.}$

Ответ: $m=-1,5\text{;}$ $-1⩽m⩽0\text{.}$