Задача №19423

Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $F\text{.}$ Докажите, что сумма площадей треугольников $BFC$ и $AFD$ равна половине площади параллелограмма.

Пусть $BC=AD=a$ — длина пары параллельных сторон параллелограмма, а $h$ — расстояние между прямыми $BC$ и $AD$ (высота параллелограмма, проведённая к стороне $AD$). Тогда площадь параллелограмма равна

Проведём через точку $F$ прямую, перпендикулярную прямой $AD\text{;}$ пусть она пересекает прямую $BC$ в точке $P\text{,}$ а прямую $AD$ — в точке $Q\text{.}$ Так как $BC\parallel AD\text{,}$ отрезок $PQ$ перпендикулярен обеим прямым и $PQ=h\text{.}$

Точка $F$ лежит внутри параллелограмма, поэтому она лежит между прямыми $BC$ и $AD\text{,}$ то есть между точками $P$ и $Q\text{.}$ Значит,

Отрезок $FP$ — перпендикуляр из $F$ к прямой $BC\text{,}$ то есть высота треугольника $BFC\text{,}$ опущенная на сторону $BC\text{;}$ отрезок $FQ$ — высота треугольника $AFD\text{,}$ опущенная на сторону $AD\text{.}$ Следовательно,

Складывая, получаем

Таким образом, сумма площадей треугольников $BFC$ и $AFD$ равна половине площади параллелограмма, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.