Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади параллелограмма.

Пусть BC = AD = a — длина пары параллельных сторон параллелограмма, а h — расстояние между прямыми BC и AD (высота параллелограмма, проведённая к стороне AD). Тогда площадь параллелограмма равна S_(ABCD) = a* h. Проведём через точку F прямую, перпендикулярную прямой AD; пусть она пересекает прямую BC в точке P, а прямую AD — в точке Q. Так как BC AD, отрезок PQ перпендикулярен обеим прямым и PQ = h. Точка F лежит внутри параллелограмма, поэтому она лежит между прямыми BC и AD, то есть между точками P и Q. Значит, FP + FQ = PQ = h. Отрезок FP — перпендикуляр из F к прямой BC, то есть высота треугольника BFC, опущенная на сторону BC; отрезок FQ — высота треугольника AFD, опущенная на сторону AD. Следовательно, S_(BFC) = (1)/(2)BC* FP = (1)/(2)a* FP, S_(AFD) = (1)/(2)AD* FQ = (1)/(2)a* FQ. Складывая, получаем S_(BFC) + S_(AFD) = (1)/(2)a(FP + FQ) = (1)/(2)ah = (1)/(2)S_(ABCD). Таким образом, сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади параллелограмма, что и требовалось доказать. Ответ: доказано.

Доказательство