Задача №19377

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события $A\cup \overline{B}\text{.}$

На диаграмме указаны вероятности четырёх непересекающихся областей:

• $A\cap \overline{B}$ (только $A$): $0,3\text{;}$
• $A\cap B$ (пересечение): $0,1\text{;}$
• $\overline{A}\cap B$ (только $B$): $0,2\text{;}$
• $\overline{A}\cap \overline{B}$ (вне обоих): $0,4\text{.}$

Проверка: $0,3+0,1+0,2+0,4=1\text{.}$

Нужно найти $P(A\cup \overline{B})\text{.}$ Событие $A\cup \overline{B}$ не наступает только тогда, когда одновременно не наступает $A$ и наступает $B\text{,}$ то есть в области $\overline{A}\cap B\text{.}$ Поэтому противоположное событие — это $\overline{A}\cap B$ с вероятностью $0,2\text{.}$

$$P(A\cup \overline{B})=1-P(\overline{A}\cap B)=1-0,2=0,8.$$

То же прямым суммированием областей, входящих в $A\cup \overline{B}$ (все, кроме «только $B$»): $0,3+0,1+0,4=0,8\text{.}$

Ответ: $0,8\text{.}$