Задача №19340

Постройте график функции

$$y=\{\begin{array}{ll}-x^2-2x+3,& x⩾-2,\\ -x-1,& x<-2.\end{array}$$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Функция задана на двух промежутках, разберём каждый.

1. Ветка $x⩾-2\text{:}$ парабола $y=-x^2-2x+3\text{.}$

Ветви направлены вниз ($a=-1<0$). Абсцисса вершины: $x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot (-1)}=-1\text{.}$ Ордината вершины: $y_0=-(-1{)}^2-2\cdot (-1)+3=4\text{.}$ Вершина $(-1;4)$ входит в область $x⩾-2$ — это максимум графика.

Граничная точка: при $x=-2$ имеем $y=-4+4+3=3\text{,}$ точка $(-2;3)$ графику принадлежит (закрашена). Нули: $-x^2-2x+3=0\iff x^2+2x-3=0\iff (x-1)(x+3)=0\text{,}$ в область попадает $x=1\text{.}$

Итак, на $[-2;-1]$ парабола поднимается от $3$ до $4\text{,}$ на $[-1;+\infty )$ опускается от $4$ до $-\infty \text{.}$

2. Ветка $x<-2\text{:}$ прямая $y=-x-1\text{.}$

При $x=-2$ формула даёт $y=1\text{,}$ но точка $(-2;1)$ не входит (выколота). При убывании $x$ значение $y=-x-1$ растёт до $+\infty \text{.}$ Значит эта ветка принимает все значения $y\in (1;+\infty )\text{,}$ каждое ровно один раз.

3. Сколько точек даёт прямая $y=m\text{.}$

Прямая $y=m$ горизонтальна; считаем общие точки с каждой веткой.

• Прямолинейная ветка ($x<-2$): даёт $1$ точку при $m>1$ и $0$ точек при $m⩽1\text{.}$
• Парабола ($x⩾-2$): при $m>4$ — $0$ точек; при $m=4$ — $1$ (вершина); при $3⩽m<4$ — $2$ точки (на подъёме и на спуске); при $m<3$ — $1$ точка (только на спуске).

Сложим и найдём, где сумма равна $2\text{:}$

Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет при $1<m<3$ и при $m=4\text{.}$

Ответ: $1<m<3$ или $m=4\text{.}$