Постройте график функции y=cases -x^(2)-2x+3, & x -2, -x-1, & x<-2. cases Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Функция задана на двух промежутках, разберём каждый. Ветка x -2: парабола y=-x^(2)-2x+3. Ветви направлены вниз (a=-1<0). Абсцисса вершины: x_0=-(b)/(2a)=-(-2)/(2*(-1))=-1. Ордината вершины: y_0=-(-1)^2-2*(-1)+3=4. Вершина (-1;4) входит в область x -2 — это максимум графика. Граничная точка: при x=-2 имеем y=-4+4+3=3, точка (-2;3) графику принадлежит (закрашена). Нули: -x^(2)-2x+3=0<=> x^(2)+2x-3=0<=> (x-1)(x+3)=0, в область попадает x=1. Итак, на [-2;-1] парабола поднимается от 3 до 4, на [-1;+inf) опускается от 4 до -inf. Ветка x<-2: прямая y=-x-1. При x=-2 формула даёт y=1, но точка (-2;1) не входит (выколота). При убывании x значение y=-x-1 растёт до +inf. Значит эта ветка принимает все значения yin(1;+inf), каждое ровно один раз. Сколько точек даёт прямая y=m. Прямая y=m горизонтальна; считаем общие точки с каждой веткой. Прямолинейная ветка (x<-2): даёт 1 точку при m>1 и 0 точек при m 1. Парабола (x -2): при m>4 — 0 точек; при m=4 — 1 (вершина); при 3 m<4 — 2 точки (на подъёме и на спуске); при m<3 — 1 точка (только на спуске). Сложим и найдём, где сумма равна 2: | Значение m | Прямая | Парабола | Всего | |---|---|---|---| | m>4 | 1 | 0 | 1 | | m=4 | 1 | 1 | 2 | | 3 m<4 | 1 | 2 | 3 | | 1<m<3 | 1 | 1 | 2 | | m 1 | 0 | 1 | 1 | Ровно две общие точки прямая y=m имеет при 1<m<3 и при m=4. Ответ: 1<m<3 или m=4.

1 < m < 3; m = 4