Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность
и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются
в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
Пусть окружность описана около четырёхугольника ABCD, а прямые AD и BC пересекаются в точке K. Для определённости считаем, что точка A лежит между K и D, а точка B — между K и C (иначе роли пар вершин меняются местами, рассуждение дословно то же).
Шаг 1. Общий угол.
Треугольники KAB и KCD имеют общий угол при вершине K: луч KA совпадает с лучом KD, а луч KB — с лучом KC, поэтому
∠AKB=∠CKD.Шаг 2. Свойство вписанного четырёхугольника.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, значит суммы его противоположных углов равны 180∘:
∠BAD+∠BCD=180∘.Шаг 3. Смежный угол.
Точка A лежит между K и D, поэтому углы ∠KAB и ∠BAD — смежные:
∠KAB=180∘−∠BAD.Сопоставляя с шагом 2, получаем
∠KAB=∠BCD.Шаг 4. Отождествление угла.
Точка B лежит между K и C, поэтому луч CB совпадает с лучом CK, и, следовательно,
∠KCD=∠BCD.Вместе с шагом 3 это даёт
∠KAB=∠KCD.Шаг 5. Вывод.
В треугольниках KAB и KCD равны две пары углов:
∠AKB=∠CKD,∠KAB=∠KCD.По признаку подобия по двум углам треугольники подобны:
△KAB∼△KCD.(Из подобия попутно следует KA⋅KD=KB⋅KC — известное свойство секущих.)
Ответ: треугольники KAB и KCD подобны, что и требовалось доказать.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ