Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.

Пусть окружность описана около четырёхугольника ABCD, а прямые AD и BC пересекаются в точке K. Для определённости считаем, что точка A лежит между K и D, а точка B — между K и C (иначе роли пар вершин меняются местами, рассуждение дословно то же). Шаг 1. Общий угол. Треугольники KAB и KCD имеют общий угол при вершине K: луч KA совпадает с лучом KD, а луч KB — с лучом KC, поэтому AKB = CKD . Шаг 2. Свойство вписанного четырёхугольника. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, значит суммы его противоположных углов равны 180^: BAD + BCD = 180^ . Шаг 3. Смежный угол. Точка A лежит между K и D, поэтому углы KAB и BAD — смежные: KAB = 180^ - BAD . Сопоставляя с шагом 2, получаем KAB = BCD . Шаг 4. Отождествление угла. Точка B лежит между K и C, поэтому луч CB совпадает с лучом CK, и, следовательно, KCD = BCD . Вместе с шагом 3 это даёт KAB = KCD . Шаг 5. Вывод. В треугольниках KAB и KCD равны две пары углов: AKB = CKD, KAB = KCD . По признаку подобия по двум углам треугольники подобны: KAB KCD . (Из подобия попутно следует KA* KD = KB* KC — известное свойство секущих.) Ответ: треугольники KAB и KCD подобны, что и требовалось доказать.

Доказательство