Задача №19322

На клетчатой бумаге изображён треугольник $ABC\text{.}$ Во сколько раз отрезок $AM$ длиннее отрезка $CM\text{?}$

Точка $M$ лежит на стороне $AC\text{,}$ поэтому отрезки $AM$ и $MC$ лежат на одной прямой.

Проведём через точки $A\text{,}$ $M$ и $C$ вертикальные линии сетки. Эти три прямые параллельны, а горизонтальные линии сетки, пересекающие их, равноотстоящие. По теореме Фалеса (обобщённой теореме о пропорциональных отрезках) параллельные прямые отсекают на секущей $AC$ отрезки, пропорциональные расстояниям между ними.

Вертикаль, проходящая через $A\text{,}$ и вертикаль, проходящая через $M\text{,}$ отстоят друг от друга на $3$ клетки; вертикали через $M$ и через $C$ — на $2$ клетки. Значит,

$$\frac{AM}{CM}=\frac{3}{2}=1,5.$$

Проверка: если считать сторону клетки единичной, то $A\text{,}$ $M\text{,}$ $C$ отстоят по горизонтали на $3$ и $2$ клетки, а по вертикали — на $0,6$ и $0,4$ клетки (точки лежат на одной прямой, спуск на $1$ клетку за $5$ клеток вправо). Тогда $AM=\sqrt{3^2+0,6^2}=3\sqrt{1,04}\text{,}$ $CM=\sqrt{2^2+0,4^2}=2\sqrt{1,04}\text{,}$ и $AM:CM=3:2=1,5\text{.}$

Ответ: $1,5\text{.}$