!Треугольник ABC на клетчатой бумаге: вершина A слева, вершина B сверху, вершина C справа внизу; на стороне AC отмечена точка M На клетчатой бумаге изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок AM длиннее отрезка CM?

Точка M лежит на стороне AC, поэтому отрезки AM и MC лежат на одной прямой. Проведём через точки A, M и C вертикальные линии сетки. Эти три прямые параллельны, а горизонтальные линии сетки, пересекающие их, равноотстоящие. По теореме Фалеса (обобщённой теореме о пропорциональных отрезках) параллельные прямые отсекают на секущей AC отрезки, пропорциональные расстояниям между ними. Вертикаль, проходящая через A, и вертикаль, проходящая через M, отстоят друг от друга на 3 клетки; вертикали через M и через C — на 2 клетки. Значит, (AM)/(CM)=(3)/(2)=1,5. Проверка: если считать сторону клетки единичной, то A, M, C отстоят по горизонтали на 3 и 2 клетки, а по вертикали — на 0,6 и 0,4 клетки (точки лежат на одной прямой, спуск на 1 клетку за 5 клеток вправо). Тогда AM=sqrt(3^2+0,6^2)=3sqrt(1,04), CM=sqrt(2^2+0,4^2)=2sqrt(1,04), и AM:CM=3:2=1,5. Ответ: 1,5.

1,5