Задача №19318

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен $\frac{8}{17}\text{.}$ Диаметр описанной около него окружности равен 34. Найдите площадь прямоугольника.

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, вписанный в окружность. Все его углы прямые, поэтому диагональ $AC$ опирается на прямой угол $ABC\text{,}$ то есть $AC$ — диаметр описанной окружности:

$$AC=34.$$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle B=90^{\circ }$) угол между стороной $BC$ и диагональю $AC$ имеет синус $\frac{8}{17}\text{,}$ а противолежащий ему катет — $AB\text{:}$

$$AB=AC\cdot \sin \angle ACB=34\cdot \frac{8}{17}=16.$$

Вторую сторону найдём по теореме Пифагора:

$$BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{34^2-16^2}=\sqrt{1156-256}=\sqrt{900}=30.$$

Площадь прямоугольника:

$$S=AB\cdot BC=16\cdot 30=480.$$

Ответ: 480.