Задача №19310

Периметр треугольника равен 71, одна из сторон равна 21, а радиус вписанной в него окружности равен 6. Найдите площадь этого треугольника.

Соединим центр вписанной окружности $O$ с вершинами треугольника. Треугольник разбивается на три треугольника с основаниями $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ и общей высотой, равной радиусу вписанной окружности $r$ (расстояние от центра до каждой стороны равно $r\text{,}$ так как стороны — касательные).

Поэтому

$$S=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=\frac{a+b+c}{2}\cdot r=pr,$$

где $p$ — полупериметр.

Подставим данные: $P=71\text{,}$ значит $p=\frac{71}{2}=35,5\text{,}$ а $r=6\text{:}$

$$S=35,5\cdot 6=213.$$

(Длина стороны $21$ для вычисления площади не нужна — это избыточное данное.)

Ответ: $213\text{.}$