Постройте график функции y=cases -x^(2)+8x-17, & x 2, -x-2, & x<2.cases Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Разбираем каждую ветвь. При x 2: y=-x^(2)+8x-17=-(x^(2)-8x+16)-1=-(x-4)^(2)-1. Это парабола ветвями вниз с вершиной (4;-1). На луче x 2 она возрастает от значения y(2)=-(2-4)^(2)-1=-5 до максимума y(4)=-1, а затем убывает до -inf. Точка (2;-5) графику принадлежит (закрашена). При x<2: y=-x-2 — луч убывающей прямой; при x 2^(-) значение стремится к -4, но точка (2;-4) выколота. Значит, эта ветвь принимает каждое значение m>-4 ровно один раз и не принимает значений m -4. Сколько точек даёт каждая ветвь при данном m. Прямая y=m пересекает луч y=-x-2, x<2: ровно 1 точка, если m>-4; ни одной, если m -4. Прямая y=m пересекает параболическую часть y=-(x-4)^(2)-1, x 2: 0 точек при m>-1; 1 точку при m=-1 (вершина x=4); 2 точки при -5 m<-1 (одна на возрастающем куске 2 x<4, другая на убывающем x>4; при m=-5 это x=2 и x=6); 1 точку при m<-5 (только убывающий кусок). Складываем. | m | прямая | парабола | всего | |---|---|---|---| | m>-1 | 1 | 0 | 1 | | m=-1 | 1 | 1 | 2 | | -4<m<-1 | 1 | 2 | 3 | | -5 m -4 | 0 | 2 | 2 | | m<-5 | 0 | 1 | 1 | Ровно две общие точки получаются при m=-1 и при -5 m -4. Ответ: -5 m -4; m=-1.

\(-5 \le m \le -4;\ m = -1\)