В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.

Точки C и D лежат по одну сторону от прямой AB (в выпуклом четырёхугольнике ABCD весь четырёхугольник расположен по одну сторону от прямой, содержащей его сторону AB). Отрезок AB виден из точек C и D под равными углами: по условию BCA = BDA. По признаку (теорема, обратная теореме о вписанном угле): если из двух точек, лежащих по одну сторону от отрезка, этот отрезок виден под равными углами, то эти точки и концы отрезка лежат на одной окружности. Значит, точки A, B, C, D лежат на одной окружности, то есть ABCD — вписанный четырёхугольник. Теперь рассмотрим хорду AD этой окружности. Углы ABD и ACD — вписанные, они опираются на одну и ту же дугу AD (вершины B и C лежат по одну сторону от прямой AD, так как четырёхугольник выпуклый). Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, поэтому ABD = ACD. Ответ: углы ABD и ACD равны, что и требовалось доказать.

Доказательство