Задача №19289

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $BCA$ и $BDA$ равны. Докажите, что углы $ABD$ и $ACD$ также равны.

Точки $C$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $AB$ (в выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ весь четырёхугольник расположен по одну сторону от прямой, содержащей его сторону $AB$).

Отрезок $AB$ виден из точек $C$ и $D$ под равными углами: по условию $\angle BCA=\angle BDA\text{.}$ По признаку (теорема, обратная теореме о вписанном угле): если из двух точек, лежащих по одну сторону от отрезка, этот отрезок виден под равными углами, то эти точки и концы отрезка лежат на одной окружности. Значит, точки $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C\text{,}$ $D$ лежат на одной окружности, то есть $ABCD$ — вписанный четырёхугольник.

Теперь рассмотрим хорду $AD$ этой окружности. Углы $\angle ABD$ и $\angle ACD$ — вписанные, они опираются на одну и ту же дугу $AD$ (вершины $B$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $AD\text{,}$ так как четырёхугольник выпуклый). Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, поэтому

Ответ: углы $ABD$ и $ACD$ равны, что и требовалось доказать.