Задача №19269

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 20 см?

Высоты последовательных прыжков образуют геометрическую прогрессию с первым членом $b_1=4$ м и знаменателем $q=\frac{1}{2}$ (каждая следующая высота вдвое меньше предыдущей).

Формула $n$-го члена:

Переведём $20$ см $=0,2$ м. Нужно найти наименьший номер $n\text{,}$ при котором $b_n<0,2\text{:}$

Так как $2^4=16\le 20\text{,}$ а $2^5=32>20\text{,}$ получаем $n-1\ge 5\text{,}$ то есть $n\ge 6\text{.}$

Проверка по высотам: $4;2;1;0,5;0,25;0,125\text{.}$ Пятый прыжок — $0,25$ м $=25$ см $\ge 20$ см, шестой — $0,125$ м $=12,5$ см $<20$ см.

Ответ: 6.