Задача №19266

Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна 30, а $\mathrm{tg}\angle BCA=0,2\text{.}$ Найдите площадь ромба.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения $O$ делятся пополам. Пусть $AC=30$ — данная диагональ, тогда $AO=OC=\frac{30}{2}=15\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BOC$ ($\angle BOC=90^{\circ }$). Угол $\angle BCA$ — это угол $\angle BCO$ в этом треугольнике, поэтому

$$\mathrm{tg}\angle BCA=\frac{BO}{OC}=0,2.$$

Отсюда $BO=OC\cdot 0,2=15\cdot 0,2=3\text{,}$ а вся вторая диагональ $BD=2\cdot BO=6\text{.}$

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

$$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 6=90.$$

Ответ: $90\text{.}$