Задача №19264

Биссектрисы углов $B$ и $C$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O\text{,}$ лежащей на стороне $AD\text{.}$ Докажите, что точка $O$ равноудалена от прямых $AB\text{,}$ $BC$ и $CD\text{.}$

Дано: $ABCD$ — четырёхугольник; биссектрисы его углов $B$ и $C$ пересекаются в точке $O\text{,}$ лежащей на стороне $AD\text{.}$

Доказать: точка $O$ равноудалена от прямых $AB\text{,}$ $BC$ и $CD\text{.}$

Решение.

Опустим из точки $O$ перпендикуляры на три прямые:
$OP\perp AB$ ($P\in AB$), $OQ\perp BC$ ($Q\in BC$), $OR\perp CD$ ($R\in CD$).
Длины $OP\text{,}$ $OQ\text{,}$ $OR$ — это и есть расстояния от точки $O$ до прямых $AB\text{,}$ $BC$ и $CD\text{.}$

1. Точка $O$ лежит на биссектрисе угла $B\text{.}$
Угол $ABC$ образован лучами $BA$ и $BC\text{,}$ лежащими на прямых $AB$ и $BC\text{.}$ По свойству биссектрисы угла каждая её точка равноудалена от сторон этого угла, поэтому

(Строгое обоснование: прямоугольные треугольники $BPO$ и $BQO$ имеют общую гипотенузу $BO$ и равные острые углы $\angle PBO=\angle QBO\text{,}$ так как $BO$ — биссектриса. Значит, $△BPO=△BQO$ по гипотенузе и острому углу, откуда $OP=OQ\text{.}$)

2. Точка $O$ лежит на биссектрисе угла $C\text{.}$
Угол $BCD$ образован лучами $CB$ и $CD\text{.}$ Аналогично, прямоугольные треугольники $CQO$ и $CRO$ имеют общую гипотенузу $CO$ и равные острые углы $\angle QCO=\angle RCO$ (так как $CO$ — биссектриса угла $BCD$), поэтому $△CQO=△CRO$ и

3. Из пунктов 1 и 2 получаем

то есть расстояния от точки $O$ до прямых $AB\text{,}$ $BC$ и $CD$ равны.

Значит, точка $O$ равноудалена от прямых $AB\text{,}$ $BC$ и $CD\text{,}$ что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Доказательство: $O$ лежит на биссектрисе угла $ABC\text{,}$ значит равноудалена от прямых $AB$ и $BC\text{;}$ $O$ лежит на биссектрисе угла $BCD\text{,}$ значит равноудалена от прямых $BC$ и $CD\text{.}$ Отсюда расстояния до всех трёх прямых равны.