Биссектрисы углов B и C четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.

Дано: ABCD — четырёхугольник; биссектрисы его углов B и C пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD. Доказать: точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD. Решение. Опустим из точки O перпендикуляры на три прямые: OP AB (P in AB), OQ BC (Q in BC), OR CD (R in CD). Длины OP, OQ, OR — это и есть расстояния от точки O до прямых AB, BC и CD. Точка O лежит на биссектрисе угла B. Угол ABC образован лучами BA и BC, лежащими на прямых AB и BC. По свойству биссектрисы угла каждая её точка равноудалена от сторон этого угла, поэтому OP = OQ. (Строгое обоснование: прямоугольные треугольники BPO и BQO имеют общую гипотенузу BO и равные острые углы PBO = QBO, так как BO — биссектриса. Значит, BPO = BQO по гипотенузе и острому углу, откуда OP = OQ.) Точка O лежит на биссектрисе угла C. Угол BCD образован лучами CB и CD. Аналогично, прямоугольные треугольники CQO и CRO имеют общую гипотенузу CO и равные острые углы QCO = RCO (так как CO — биссектриса угла BCD), поэтому CQO = CRO и OQ = OR. Из пунктов 1 и 2 получаем OP = OQ = OR, то есть расстояния от точки O до прямых AB, BC и CD равны. Значит, точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD, что и требовалось доказать. Ответ: доказано. Доказательство: O лежит на биссектрисе угла ABC, значит равноудалена от прямых AB и BC; O лежит на биссектрисе угла BCD, значит равноудалена от прямых BC и CD. Отсюда расстояния до всех трёх прямых равны.

Доказательство