Задача №19242

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC=16\text{,}$ $BC=12\text{,}$ угол $C$ равен $90^{\circ }\text{.}$ Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом $C\text{,}$ поэтому $AC$ и $BC$ — катеты, а $AB$ — гипотенуза.

Шаг 1. Находим гипотенузу по теореме Пифагора.

$$AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20.$$

Шаг 2. Используем свойство описанной окружности прямоугольного треугольника.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит в середине гипотенузы (так как гипотенуза видна из вершины прямого угла под углом $90^{\circ }\text{,}$ значит она — диаметр). Поэтому

$$R=\frac{AB}{2}=\frac{20}{2}=10.$$

Ответ: $10\text{.}$