Постройте график функции y=(7x-5)/(7x^(2) -5x). Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Упрощение функции. Разложим знаменатель на множители: 7x^2-5x=x(7x-5). Тогда y=(7x-5)/(x(7x-5))=(1)/(x), причём область определения задаётся условиями x!= 0 и 7x-5!= 0, то есть x!= 0 и x!= (5)/(7). График. Это гипербола y=(1)/(x), из которой выколота точка с абсциссой x=(5)/(7). Её ордината: y=(1)/(5/7)=(7)/(5). Значит, выколота точка ((5)/(7); (7)/(5)). Пересечение с прямой y=kx. Приравниваем: kx=(1)/(x) => kx^2=1 => x^2=(1)/(k). При k<= 0 уравнение решений не имеет — общих точек нет. При k>0 есть два корня x=+-(1)/(sqrt(k)), то есть прямая пересекает гиперболу в двух точках. Чтобы общих точек с графиком было ровно одна, одна из этих двух точек должна попасть в выколотую точку. Выколота точка с положительной абсциссой x=(5)/(7), поэтому положительный корень должен равняться ей: (1)/(sqrt(k))=(5)/(7) => sqrt(k)=(7)/(5) => k=(49)/(25)=1,96. Проверка: при k=(49)/(25) прямая проходит через выколотую точку ((5)/(7);(7)/(5)) (её нет на графике) и через вторую точку x=-(5)/(7) (она есть) — итого ровно одна общая точка. Других значений k, дающих ровно одну общую точку, нет. Ответ: k=1,96 (то есть k=(49)/(25)).

1,96