Задача №19218

Постройте график функции

$y=\frac{7x-5}{7x^2-5x}\text{.}$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Упрощение функции. Разложим знаменатель на множители:

$$7x^2-5x=x(7x-5).$$

Тогда

$$y=\frac{7x-5}{x(7x-5)}=\frac{1}{x},$$

причём область определения задаётся условиями $x\ne 0$ и $7x-5\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne 0$ и $x\ne \frac{5}{7}\text{.}$

График. Это гипербола $y=\frac{1}{x}\text{,}$ из которой выколота точка с абсциссой $x=\frac{5}{7}\text{.}$ Её ордината: $y=\frac{1}{5/7}=\frac{7}{5}\text{.}$ Значит, выколота точка $\left(\frac{5}{7};\frac{7}{5}\right)\text{.}$

Пересечение с прямой $y=kx\text{.}$ Приравниваем:

$$kx=\frac{1}{x}\Rightarrow k{x}^2=1\Rightarrow x^2=\frac{1}{k}.$$

• При $k\le 0$ уравнение решений не имеет — общих точек нет.
• При $k>0$ есть два корня $x=\pm \frac{1}{\sqrt{k}}\text{,}$ то есть прямая пересекает гиперболу в двух точках.

Чтобы общих точек с графиком было ровно одна, одна из этих двух точек должна попасть в выколотую точку. Выколота точка с положительной абсциссой $x=\frac{5}{7}\text{,}$ поэтому положительный корень должен равняться ей:

$$\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{5}{7}\Rightarrow \sqrt{k}=\frac{7}{5}\Rightarrow k=\frac{49}{25}=1,96.$$

Проверка: при $k=\frac{49}{25}$ прямая проходит через выколотую точку $\left(\frac{5}{7};\frac{7}{5}\right)$ (её нет на графике) и через вторую точку $x=-\frac{5}{7}$ (она есть) — итого ровно одна общая точка. Других значений $k\text{,}$ дающих ровно одну общую точку, нет.

Ответ: $k=1,96$ (то есть $k=\frac{49}{25}$).