Решите систему уравнений cases2x^(2)+y^(2)=36, 8x^(2)+4y^(2)=36x.cases

Задача №19214: Уравнения, неравенства и их системы

Рассмотрим систему:

{2 x^{2} + y^{2} = 36, 8 x^{2} + 4 y^{2} = 36 x .

Заметим, что левая часть второго уравнения кратна левой части первого:

8 x^{2} + 4 y^{2} = 4 (2 x^{2} + y^{2}) .

По первому уравнению $2 x^{2} + y^{2} = 36,$ поэтому

4 (2 x^{2} + y^{2}) = 4 \cdot 36 = 144.

Тогда второе уравнение принимает вид

144 = 36 x \Rightarrow x = 4.

Подставим $x = 4$ в первое уравнение:

2 \cdot 4^{2} + y^{2} = 36 \Rightarrow 32 + y^{2} = 36 \Rightarrow y^{2} = 4 \Rightarrow y = \pm 2.

Получаем две пары. Проверка для $(4; 2) :$ $2 \cdot 16 + 4 = 36$ и $8 \cdot 16 + 4 \cdot 4 = 144 = 36 \cdot 4$ — верно; для $(4; - 2)$ аналогично.

Ответ: $(4; 2), (4; - 2) .$