Задача №19199

Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна 24, а $\mathrm{tg}\angle BCA=0,75\text{.}$ Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD\text{.}$ Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому

$$OC=\frac{AC}{2}=\frac{24}{2}=12,$$

а треугольник $BOC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $O\text{.}$

Из этого треугольника по определению тангенса:

$$\mathrm{tg}\angle BCA=\frac{OB}{OC}\Rightarrow OB=OC\cdot \mathrm{tg}\angle BCA=12\cdot 0,75=9.$$

Тогда вторая диагональ $BD=2\cdot OB=18\text{,}$ а сторона ромба по теореме Пифагора:

$$BC=\sqrt{O{B}^2+O{C}^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15.$$

Центр вписанной окружности — точка $O$ (она равноудалена от всех сторон), а радиус равен расстоянию от $O$ до стороны $BC\text{,}$ то есть высоте $OH$ прямоугольного треугольника $BOC\text{,}$ проведённой к гипотенузе:

$$r=OH=\frac{OB\cdot OC}{BC}=\frac{9\cdot 12}{15}=7,2.$$

Проверка через площадь: $S=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{24\cdot 18}{2}=216$ и $S=p\cdot r=\frac{4\cdot 15}{2}\cdot r=30r\text{,}$ откуда $r=\frac{216}{30}=7,2\text{.}$

Ответ: $7,2\text{.}$