Диагональ AC ромба ABCD равна 24, а tg BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб. !Ромб ABCD с вписанной окружностью и проведёнными диагоналями

Пусть O — точка пересечения диагоналей ромба ABCD. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому OC = (AC)/(2) = (24)/(2) = 12, а треугольник BOC — прямоугольный с прямым углом при вершине O. Из этого треугольника по определению тангенса: tg BCA = (OB)/(OC) => OB = OC*tg BCA = 12* 0,75 = 9. Тогда вторая диагональ BD = 2* OB = 18, а сторона ромба по теореме Пифагора: BC = sqrt(OB^2 + OC^2) = sqrt(9^2 + 12^2) = sqrt(225) = 15. Центр вписанной окружности — точка O (она равноудалена от всех сторон), а радиус равен расстоянию от O до стороны BC, то есть высоте OH прямоугольного треугольника BOC, проведённой к гипотенузе: r = OH = (OB* OC)/(BC) = (9* 12)/(15) = 7,2. Проверка через площадь: S = (AC* BD)/(2) = (24* 18)/(2) = 216 и S = p* r = (4* 15)/(2)* r = 30r, откуда r = (216)/(30) = 7,2. Ответ: 7,2.

7,2