Постройте график функции y=|x|* (x-1)-2x. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Раскроем модуль. При x >= 0 имеем |x| = x, значит y = x(x-1) - 2x = x^2 - 3x. При x < 0 имеем |x| = -x, значит y = -x(x-1) - 2x = -x^2 - x. Итак, y = cases x^2 - 3x, & x >= 0, -x^2 - x, & x < 0. cases Построим график. Правая часть (x >= 0) — часть параболы y = x^2 - 3x с ветвями вверх; её вершина ((3)/(2); -(9)/(4)) лежит в области x >= 0, нули x = 0 и x = 3. На луче x >= 0 функция убывает от 0 до -2,25 при x in [0;1,5] и затем неограниченно возрастает. Левая часть (x < 0) — часть параболы y = -x^2 - x = -(x + 12)^2 + 14 с ветвями вниз; её вершина (-12; 14) лежит в области x < 0, нули x = -1 и x = 0 (точка x = 0 не входит, но она «закрывается» правой ветвью, так что график непрерывен). При x -inf значения убывают до -inf. Сколько точек даёт прямая y = m на каждой части. На правой части уравнение x^2 - 3x = m имеет корни x = (3 +- sqrt(9 + 4m))/(2), и нужно учитывать только корни с x >= 0: m < -2,25 — корней нет (0 точек); m = -2,25 — 1 точка (вершина x = 1,5); -2,25 < m <= 0 — оба корня неотрицательны, 2 точки; m > 0 — один корень отрицателен, остаётся 1 точка. На левой части уравнение -x^2 - x = m, то есть x^2 + x + m = 0, даёт x = (-1 +- sqrt(1 - 4m))/(2), и нужно учитывать только корни с x < 0: m > 0,25 — корней нет (0 точек); m = 0,25 — 1 точка (вершина x = -0,5); 0 < m < 0,25 — оба корня отрицательны, 2 точки; m <= 0 — один корень неотрицателен, остаётся 1 точка. Складываем. | m | справа | слева | всего | |---|---|---|---| | m < -2,25 | 0 | 1 | 1 | | m = -2,25 | 1 | 1 | 2 | | -2,25 < m <= 0 | 2 | 1 | 3 | | 0 < m < 0,25 | 1 | 2 | 3 | | m = 0,25 | 1 | 1 | 2 | | m > 0,25 | 1 | 0 | 1 | Ровно две общие точки прямая y = m имеет только при m = -2,25 (касание вершины правой параболы) и при m = 0,25 (касание вершины левой параболы). Ответ: m = -2,25; m = 0,25.

m = -2,25; m = 0,25