Задача №19198

Постройте график функции

$y=|x|\cdot (x-1)-2x\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

1. Раскроем модуль.

При $x\ge 0$ имеем $|x|=x\text{,}$ значит

$$y=x(x-1)-2x=x^2-3x.$$

При $x<0$ имеем $|x|=-x\text{,}$ значит

$$y=-x(x-1)-2x=-x^2-x.$$

Итак,

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2-3x,& x\ge 0,\\ -x^2-x,& x<0.\end{array}$$

2. Построим график.

Правая часть ($x\ge 0$) — часть параболы $y=x^2-3x$ с ветвями вверх; её вершина $\left(\frac{3}{2};-\frac{9}{4}\right)$ лежит в области $x\ge 0\text{,}$ нули $x=0$ и $x=3\text{.}$ На луче $x\ge 0$ функция убывает от $0$ до $-2,25$ при $x\in [0;1,5]$ и затем неограниченно возрастает.

Левая часть ($x<0$) — часть параболы $y=-x^2-x=-{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$ с ветвями вниз; её вершина $\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{4}\right)$ лежит в области $x<0\text{,}$ нули $x=-1$ и $x=0$ (точка $x=0$ не входит, но она «закрывается» правой ветвью, так что график непрерывен). При $x\to -\infty$ значения убывают до $-\infty \text{.}$

3. Сколько точек даёт прямая $y=m$ на каждой части.

На правой части уравнение $x^2-3x=m$ имеет корни $x=\frac{3\pm \sqrt{9+4m}}{2}\text{,}$ и нужно учитывать только корни с $x\ge 0\text{:}$

• $m<-2,25$ — корней нет (0 точек);
• $m=-2,25$ — 1 точка (вершина $x=1,5$);
• $-2,25<m\le 0$ — оба корня неотрицательны, 2 точки;
• $m>0$ — один корень отрицателен, остаётся 1 точка.

На левой части уравнение $-x^2-x=m\text{,}$ то есть $x^2+x+m=0\text{,}$ даёт $x=\frac{-1\pm \sqrt{1-4m}}{2}\text{,}$ и нужно учитывать только корни с $x<0\text{:}$

• $m>0,25$ — корней нет (0 точек);
• $m=0,25$ — 1 точка (вершина $x=-0,5$);
• $0<m<0,25$ — оба корня отрицательны, 2 точки;
• $m\le 0$ — один корень неотрицателен, остаётся 1 точка.

4. Складываем.

Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет только при $m=-2,25$ (касание вершины правой параболы) и при $m=0,25$ (касание вершины левой параболы).

Ответ: $m=-2,25\text{;}$ $m=0,25\text{.}$