Задача №19190

В окружность с центром в точке $O$ вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника равно $\frac{4\sqrt{3}}{3}\text{.}$ Найдите сторону треугольника.

Пусть $O$ — центр окружности, описанной около равностороннего треугольника, а $a$ — сторона треугольника.

В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром вписанной окружности и с точкой пересечения медиан (высот). Поэтому расстояние от точки $O$ до сторон треугольника — это радиус вписанной окружности $r\text{.}$

Высота равностороннего треугольника равна $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\text{,}$ а точка пересечения медиан делит её в отношении $2:1$ от вершины, значит

$$r=\frac{1}{3}h=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$$

По условию $r=\frac{4\sqrt{3}}{3}\text{,}$ поэтому

$$\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{4\sqrt{3}}{3}⟹a=\frac{6\cdot 4\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=8.$$

Ответ: $8\text{.}$