Задача №19189

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $83^{\circ }\text{.}$ Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $37^{\circ }\text{.}$ Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ углы при большем основании равны: $\angle A=\angle D=83^{\circ }\text{.}$

Боковая сторона $AB$ — секущая для параллельных прямых $AD$ и $BC\text{,}$ поэтому углы при боковой стороне в сумме дают $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle B=180^{\circ }-\angle A=180^{\circ }-83^{\circ }=97^{\circ }.$$

По условию диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $\angle BAC=37^{\circ }\text{.}$ Искомый угол между диагональю и меньшим основанием — это $\angle BCA\text{.}$ Из суммы углов треугольника $ABC\text{:}$

$$\angle BCA=180^{\circ }-\angle B-\angle BAC=180^{\circ }-97^{\circ }-37^{\circ }=46^{\circ }.$$

Проверка: $BC\parallel AD\text{,}$ значит $\angle BCA=\angle CAD$ (накрест лежащие), а $\angle CAD=\angle A-\angle BAC=83^{\circ }-37^{\circ }=46^{\circ }\text{.}$

Ответ: $46\text{.}$