Задача №19188

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $80^{\circ }\text{,}$ угол $CAD$ равен $34^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $ABC\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Точки $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C\text{,}$ $D$ лежат на одной окружности в указанном порядке, поэтому диагональ $BD$ проходит внутри угла $ABC\text{:}$

$$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC.$$

Углы $\angle DBC$ и $\angle DAC$ — вписанные и опираются на одну и ту же дугу $CD$ (не содержащую точек $A$ и $B$), значит они равны:

$$\angle DBC=\angle CAD=34^{\circ }.$$

Отсюда

$$\angle ABC=80^{\circ }+34^{\circ }=114^{\circ }.$$

Ответ: $114\text{.}$