Задача №19173

Решите уравнение ${(x-2)}^4+3{(x-2)}^2-10=0\text{.}$

Введём замену $t=(x-2{)}^2\text{,}$ причём $t\ge 0$ как квадрат.

Уравнение принимает вид

По теореме Виета корни: $t_1=2\text{,}$ $t_2=-5$ (проверка: $t_1+t_2=-3\text{,}$ $t_1{t}_2=-10$).

Корень $t_2=-5$ не подходит, так как $t=(x-2{)}^2\ge 0\text{.}$

Остаётся $t=2\text{,}$ то есть

Проверка: при $(x-2{)}^2=2$ получаем $(x-2{)}^4=4$ и $4+3\cdot 2-10=0$ — верно.

Ответ: $2-\sqrt{2}\text{;}$ $2+\sqrt{2}\text{.}$