Задача №19171

Пусть в ромбе $ABCD$ острый угол $\angle A=\angle C=36^{\circ }\text{.}$ Тогда соседний угол $\angle B=\angle D=180^{\circ }-36^{\circ }=144^{\circ }\text{.}$

Меньшая диагональ ромба — та, которая соединяет вершины тупых углов (она лежит против острого угла). Действительно, в треугольнике $ABD$ угол $A$ равен $36^{\circ }\text{,}$ значит $\angle ABD=\angle ADB=(180^{\circ }-36^{\circ }):2=72^{\circ }\text{,}$ и сторона $BD$ лежит против меньшего угла, то есть $BD<AB\text{.}$ Значит меньшая диагональ — это $BD\text{.}$

Диагональ ромба является биссектрисой его угла, поэтому $BD$ делит тупой угол $B=144^{\circ }$ пополам:

Это и есть угол между стороной ромба и его меньшей диагональю (он же виден на чертеже при вершине тупого угла).

Ответ: $72\text{.}$