Задача №19169

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

1) Все углы ромба равны.

2) Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

3) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

Проверим каждое утверждение.

1) «Все углы ромба равны». Ромб — параллелограмм с равными сторонами; его углы попарно равны, но соседние углы дополняют друг друга до $180^{\circ }\text{.}$ Все четыре угла равны только у квадрата (частный случай ромба). Утверждение неверно.

2) «Любой прямоугольник можно вписать в окружность». Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны $180^{\circ }\text{.}$ У прямоугольника все углы по $90^{\circ }\text{,}$ значит $90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }\text{.}$ Окружность существует: её центр — точка пересечения диагоналей (диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам), радиус равен половине диагонали. Утверждение верно.

3) «Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника». Диагональ $AC$ трапеции $ABCD$ ($BC\parallel AD$) даёт треугольники $ABC$ и $ACD$ с общей стороной $AC\text{,}$ но основания $BC$ и $AD$ различны (иначе это параллелограмм), поэтому треугольники, вообще говоря, не равны (у них лишь равные высоты, но разные основания). Утверждение неверно.

Ответ: 2.