Постройте график функции y=casesx^(2) -4x+4 при x - 1, - (9)/(x) при x<- 1.cases и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком одну или две общие точки.

Разбираем первую часть графика. При x -1 имеем y=x^(2)-4x+4=(x-2)^(2) — это парабола с вершиной (2;0), ветви вверх. Строим её только правее точки x=-1; левый конец — точка (-1;9), она принадлежит графику (неравенство нестрогое). На этой части: при xin[-1;2] функция убывает от 9 до 0, при x 2 возрастает от 0 до +inf. Разбираем вторую часть графика. При x<-1 имеем y=-(9)/(x) — ветвь гиперболы во второй координатной четверти (при x<0 значение -9x>0). Эта ветвь возрастает: при x-inf получаем y 0, а при x -1 слева y 9. Точка (-1;9) выколота (она уже взята параболой), значения этой части заполняют промежуток (0;9), причём каждое ровно один раз. Считаем общие точки с прямой y=m. Парабольная часть. Уравнение (x-2)^(2)=m при m>0 даёт x=2+-sqrt(m). Условие x -1: 2-sqrt(m) -1 sqrt(m) 3 m 9. Значит: m<0 — нет точек; m=0 — одна точка x=2; 0<m 9 — две точки; m>9 — одна точка x=2+sqrt(m). Гиперболическая часть: -(9)/(x)=m даёт x=-(9)/(m), и условие x<-1 равносильно 0<m<9. Значит, одна точка при 0<m<9 и ни одной при остальных m. Складываем. | m | парабола | гипербола | всего | |---|---|---|---| | m<0 | 0 | 0 | 0 | | m=0 | 1 | 0 | 1 | | 0<m<9 | 2 | 1 | 3 | | m=9 | 2 | 0 | 2 | | m>9 | 1 | 0 | 1 | Одну или две общие точки прямая y=m имеет при m=0 и при m 9. Ответ: m=0; m 9.

\(m = 0;\ m \geqslant 9\)