Задача №19161

Постройте график функции

$y=\{\begin{array}{l}{x}^2-4x+4\text{при}x⩾-1,\\ -\frac{9}{x}\text{при}x<-1.\end{array}$

и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

1. Разбираем первую часть графика.

При $x⩾-1$ имеем $y=x^2-4x+4=(x-2{)}^2$ — это парабола с вершиной $(2;0)\text{,}$ ветви вверх. Строим её только правее точки $x=-1\text{;}$ левый конец — точка $(-1;9)\text{,}$ она принадлежит графику (неравенство нестрогое).

На этой части: при $x\in [-1;2]$ функция убывает от $9$ до $0\text{,}$ при $x⩾2$ возрастает от $0$ до $+\infty \text{.}$

2. Разбираем вторую часть графика.

При $x<-1$ имеем $y=-\frac{9}{x}$ — ветвь гиперболы во второй координатной четверти (при $x<0$ значение $-\frac{9}{x}>0$). Эта ветвь возрастает: при $x\to -\infty$ получаем $y\to 0\text{,}$ а при $x\to -1$ слева $y\to 9\text{.}$ Точка $(-1;9)$ выколота (она уже взята параболой), значения этой части заполняют промежуток $(0;9)\text{,}$ причём каждое ровно один раз.

3. Считаем общие точки с прямой $y=m\text{.}$

Парабольная часть. Уравнение $(x-2{)}^2=m$ при $m>0$ даёт $x=2\pm \sqrt{m}\text{.}$ Условие $x⩾-1\text{:}$ $2-\sqrt{m}⩾-1⟺\sqrt{m}⩽3⟺m⩽9\text{.}$ Значит:

• $m<0$ — нет точек;
• $m=0$ — одна точка $x=2\text{;}$
• $0<m⩽9$ — две точки;
• $m>9$ — одна точка $x=2+\sqrt{m}\text{.}$

Гиперболическая часть: $-\frac{9}{x}=m$ даёт $x=-\frac{9}{m}\text{,}$ и условие $x<-1$ равносильно $0<m<9\text{.}$ Значит, одна точка при $0<m<9$ и ни одной при остальных $m\text{.}$

4. Складываем.

Одну или две общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=0$ и при $m⩾9\text{.}$

Ответ: $m=0\text{;}$ $m⩾9\text{.}$