Задача №19158

Периметр ромба равен 36, а один из углов равен $30^{\circ }\text{.}$ Найдите площадь этого ромба.

У ромба все стороны равны, поэтому его сторона равна $a=\frac{P}{4}=\frac{36}{4}=9\text{.}$

Площадь ромба (как частного случая параллелограмма) равна произведению соседних сторон на синус угла между ними:

$$S=a^2\sin \alpha =9^2\cdot \sin 30^{\circ }=81\cdot \frac{1}{2}=40,5.$$

(Тот же результат синтетически: высота, опущенная из вершины тупого угла на сторону, в прямоугольном треугольнике с углом $30^{\circ }$ равна половине гипотенузы, т.е. $h=\frac{9}{2}=4,5\text{,}$ откуда $S=a\cdot h=9\cdot 4,5=40,5\text{.}$)

Ответ: 40,5.