Задача №19155

Решите неравенство $\frac{-11}{(x-2{)}^2-3}⩾0\text{.}$

Шаг 1. Знак числителя.

Числитель дроби равен $-11$ — это отрицательное число при любом $x\text{.}$ В частности, дробь никогда не обращается в нуль, поэтому условие $\frac{-11}{(x-2{)}^2-3}⩾0$ равносильно строгому неравенству $\frac{-11}{(x-2{)}^2-3}>0\text{.}$

Шаг 2. Переход к знаменателю.

Частное положительно, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Числитель отрицателен, значит знаменатель тоже должен быть отрицательным:

(Случай нулевого знаменателя автоматически исключён: при $(x-2{)}^2-3=0$ дробь не определена.)

Шаг 3. Решение квадратного неравенства.

откуда

Проверка. При $x=2$ (точка внутри найденного промежутка) получаем $\frac{-11}{0-3}=\frac{11}{3}>0$ — верно. При $x=0$ (вне промежутка, так как $2-\sqrt{3}\approx 0,27$) получаем $\frac{-11}{4-3}=-11<0$ — неравенство не выполняется.

Ответ: $\left(2-\sqrt{3};2+\sqrt{3}\right)\text{.}$