Задача №19151

Основания трапеции равны 1 и 17. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $BC=1$ и $AD=17\text{,}$ а $MN$ — её средняя линия ($M$ — середина боковой стороны $AB\text{,}$ $N$ — середина $CD$). Проведём диагональ $AC\text{;}$ пусть она пересекает среднюю линию в точке $P\text{.}$

Средняя линия трапеции параллельна основаниям, поэтому в треугольнике $ABC$ прямая $MP\parallel BC$ проходит через середину $M$ стороны $AB\text{,}$ значит (по теореме Фалеса) $P$ — середина $AC\text{,}$ и $MP$ — средняя линия треугольника $ABC\text{:}$

$$MP=\frac{BC}{2}=\frac{1}{2}=0,5.$$

Аналогично $PN$ — средняя линия треугольника $ACD$ (проходит через середины $P$ и $N$ сторон $AC$ и $CD$):

$$PN=\frac{AD}{2}=\frac{17}{2}=8,5.$$

Проверка: $MP+PN=0,5+8,5=9=\frac{1+17}{2}$ — длина средней линии трапеции.

Больший из отрезков равен $8,5\text{.}$

Ответ: $8,5\text{.}$