Задача №19148

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N\text{.}$ Известно, что $\angle NBA=48^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $NMB\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Точки $M$ и $N$ лежат на окружности, $AB$ — диаметр.

1. Угол $ANB$ — вписанный, он опирается на диаметр $AB\text{,}$ поэтому $\angle ANB=90^{\circ }\text{.}$
2. В треугольнике $ANB$ сумма острых углов равна $90^{\circ }\text{,}$ значит

$$\angle NAB=90^{\circ }-\angle NBA=90^{\circ }-48^{\circ }=42^{\circ }.$$

3. Вписанные углы $\angle NAB$ и $\angle NMB$ опираются на одну и ту же дугу $NB$ (точки $A$ и $M$ лежат по одну сторону от хорды $NB$ — обе на дуге, не содержащей $N$ и $B$), поэтому они равны:

$$\angle NMB=\angle NAB=42^{\circ }.$$

Ответ: $42\text{.}$