Задача №19147

Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна 8, а $\mathrm{tg}\angle BCA=0,75\text{.}$ Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD\text{.}$ Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $OC=\frac{AC}{2}=4\text{,}$ а треугольник $BOC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $O\text{.}$

В треугольнике $BOC\text{:}$ $\mathrm{tg}\angle BCA=\frac{BO}{OC}\text{,}$ откуда $BO=OC\cdot \mathrm{tg}\angle BCA=4\cdot 0,75=3\text{.}$

По теореме Пифагора сторона ромба равна

$$BC=\sqrt{B{O}^2+O{C}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5.$$

Центр вписанной в ромб окружности совпадает с точкой $O$ (она равноудалена от всех сторон), значит радиус $r$ — это высота прямоугольного треугольника $BOC\text{,}$ проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе $BC\text{:}$

$$r=\frac{BO\cdot OC}{BC}=\frac{3\cdot 4}{5}=2,4.$$

Ответ: $2,4\text{.}$