Диагональ AC ромба ABCD равна 8, а tg BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб. !Ромб ABCD с вершинами A и C на горизонтальной диагонали, B сверху и D снизу; в ромб вписана окружность, касающаяся всех четырёх сторон; проведена диагональ AC

Пусть O — точка пересечения диагоналей ромба ABCD. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому OC = (AC)/(2) = 4, а треугольник BOC — прямоугольный с прямым углом при вершине O. В треугольнике BOC: tg BCA = (BO)/(OC), откуда BO = OC*tg BCA = 4* 0,75 = 3. По теореме Пифагора сторона ромба равна BC = sqrt(BO^2 + OC^2) = sqrt(3^2 + 4^2) = 5. Центр вписанной в ромб окружности совпадает с точкой O (она равноудалена от всех сторон), значит радиус r — это высота прямоугольного треугольника BOC, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе BC: r = (BO* OC)/(BC) = (3* 4)/(5) = 2,4. Ответ: 2,4.

2,4