Задача №19144

Сторона $CD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $BC\text{.}$ Точка $N$ — середина стороны $CD\text{.}$ Докажите, что $BN$ — биссектриса угла $ABC\text{.}$

По условию $CD=2\cdot BC\text{,}$ а точка $N$ — середина стороны $CD\text{,}$ поэтому

Шаг 1. Равнобедренный треугольник $BCN\text{.}$
В треугольнике $BCN$ стороны $CB$ и $CN$ равны ($CN=BC$), значит треугольник равнобедренный. Углы при основании $BN$ равны:

Шаг 2. Накрест лежащие углы.
В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны: $AB\parallel CD\text{.}$ Прямая $BN$ — секущая этих параллельных прямых, поэтому накрест лежащие углы равны:

Шаг 3. Вывод.
Из шагов 1 и 2 получаем

Значит, луч $BN$ делит угол $ABC$ на два равных угла $\angle ABN$ и $\angle CBN\text{,}$ то есть $BN$ — биссектриса угла $ABC\text{.}$

Ответ: $BN$ — биссектриса угла $ABC\text{,}$ что и требовалось доказать.