Задача №19128

Решите неравенство

$$(1-x)(x^2+5x-6)\ge 0.$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители. Корни уравнения $x^2+5x-6=0\text{:}$ по теореме Виета $x_1=-6\text{,}$ $x_2=1\text{,}$ поэтому

$$x^2+5x-6=(x+6)(x-1).$$

Подставим в неравенство:

$$(1-x)(x+6)(x-1)\ge 0.$$

Заметим, что $1-x=-(x-1)\text{,}$ поэтому

$$-(x-1)(x+6)(x-1)\ge 0⟺-(x-1{)}^2(x+6)\ge 0.$$

Умножим обе части на $-1$ (знак неравенства меняется):

$$(x-1{)}^2(x+6)\le 0.$$

Множитель $(x-1{)}^2\ge 0$ при всех $x\text{.}$ Значит:

• если $x=1\text{,}$ то $(x-1{)}^2=0$ и всё произведение равно $0$ — условие $\le 0$ выполнено;
• если $x\ne 1\text{,}$ то $(x-1{)}^2>0\text{,}$ и для выполнения неравенства нужно $x+6\le 0\text{,}$ то есть $x\le -6\text{.}$

Объединяя оба случая, получаем $x\le -6$ или $x=1\text{.}$

Проверка: при $x=-7\text{:}$ $(1+7)(49-35-6)=8\cdot 8=64\ge 0$ — верно; при $x=1\text{:}$ множитель $(1-x)=0\text{,}$ произведение $0\ge 0$ — верно; при $x=0\text{:}$ $1\cdot (-6)=-6<0$ — не входит.

Ответ: $x\in (-\infty ;-6]\cup \{1\}\text{.}$