Задача №19124

Решите неравенство

$$x\le \frac{64}{x}.$$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю. Область определения: $x\ne 0\text{.}$

$$x\le \frac{64}{x}⟺x-\frac{64}{x}\le 0⟺\frac{x^2-64}{x}\le 0.$$

Разложим числитель: $x^2-64=(x-8)(x+8)\text{,}$ поэтому

$$\frac{(x-8)(x+8)}{x}\le 0.$$

Нули числителя $x=-8$ и $x=8\text{,}$ точка разрыва $x=0\text{.}$ Отметим их на прямой и расставим знаки выражения $\frac{(x-8)(x+8)}{x}$ по промежуткам:

• при $x<-8\text{:}$ знак $\frac{(-)(-)}{(-)}=(-)$ — подходит;
• при $-8<x<0\text{:}$ знак $\frac{(-)(+)}{(-)}=(+)$ — не подходит;
• при $0<x<8\text{:}$ знак $\frac{(-)(+)}{(+)}=(-)$ — подходит;
• при $x>8\text{:}$ знак $\frac{(+)(+)}{(+)}=(+)$ — не подходит.

Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя $x=-8$ и $x=8$ включаем, а точку $x=0$ (не входит в ОДЗ) — исключаем.

Ответ: $(-\infty ;-8]\cup (0;8]\text{.}$