Задача №19115

Постройте график функции

$$y=\frac{(0,5x^2+2x)\cdot |x|}{x+4}.$$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

1. Упрощаем формулу. В числителе выносим общий множитель: $0,5x^2+2x=0,5x(x+4)\text{.}$ Тогда

$$y=\frac{0,5x(x+4)\cdot |x|}{x+4}.$$

При $x\ne -4$ сокращаем на $(x+4)\text{:}$

$$y=0,5x|x|,x\ne -4.$$

Область определения — все числа, кроме $x=-4$ (в этой точке знаменатель обращается в ноль).

2. Раскрываем модуль. Получаем две ветви парабол:

• при $x\ge 0\text{:}$ $y=0,5x^2$ (правая ветвь параболы, растёт от $0$);
• при $x<0\text{:}$ $y=-0,5x^2$ (ветвь параболы, направленная вниз).

Функция $y=0,5x|x|$ нечётная и монотонно возрастает на всей числовой прямой (её значения пробегают все действительные числа ровно один раз).

3. Выколотая точка. Точка $x=-4$ исключена. Ей соответствовало бы значение

$$y=0,5\cdot (-4)\cdot |-4|=0,5\cdot (-4)\cdot 4=-8.$$

Значит, на графике выколота точка $(-4;-8)\text{.}$

4. Пересечение с прямой $y=m\text{.}$ Так как функция возрастает и её множество значений — вся ось (кроме одной выколотой точки), горизонтальная прямая $y=m$ пересекает график ровно в одной точке при любом $m\ne -8\text{.}$ Значение $y=-8$ достигается только при $x=-4\text{,}$ а эта точка выколота, поэтому при $m=-8$ общих точек нет.

Ответ: $m=-8\text{.}$