Постройте график функции y=((0,5x^2+2x)*|x|)/(x+4). Определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Упрощаем формулу. В числителе выносим общий множитель: 0,5x^2+2x=0,5x(x+4). Тогда y=(0,5x(x+4)*|x|)/(x+4). При x!=-4 сокращаем на (x+4): y=0,5x|x|, x!=-4. Область определения — все числа, кроме x=-4 (в этой точке знаменатель обращается в ноль). Раскрываем модуль. Получаем две ветви парабол: при x>= 0: y=0,5x^2 (правая ветвь параболы, растёт от 0); при x<0: y=-0,5x^2 (ветвь параболы, направленная вниз). Функция y=0,5x|x| нечётная и монотонно возрастает на всей числовой прямой (её значения пробегают все действительные числа ровно один раз). Выколотая точка. Точка x=-4 исключена. Ей соответствовало бы значение y=0,5*(-4)*|-4|=0,5*(-4)*4=-8. Значит, на графике выколота точка (-4;-8). Пересечение с прямой y=m. Так как функция возрастает и её множество значений — вся ось (кроме одной выколотой точки), горизонтальная прямая y=m пересекает график ровно в одной точке при любом m!=-8. Значение y=-8 достигается только при x=-4, а эта точка выколота, поэтому при m=-8 общих точек нет. Ответ: m=-8.

m = -8