Задача №19114

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM\text{.}$ Найдите градусную меру угла $A\text{,}$ если $\angle C=57^{\circ }$ и $BM=AM=MC\text{.}$

Так как $BM$ — медиана, точка $M$ — середина $AC\text{,}$ поэтому $AM=MC\text{.}$ По условию $BM=AM=MC\text{,}$ значит медиана $BM$ равна половине стороны $AC\text{,}$ к которой она проведена. Значит, треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $B$ (признак: если медиана равна половине стороны, то эта сторона — гипотенуза).

Проведём угловой счёт напрямую. Треугольник $BMC$ равнобедренный ($MB=MC$), поэтому углы при основании равны: $\angle MBC=\angle C=57^{\circ }\text{.}$ Треугольник $ABM$ равнобедренный ($MA=MB$), поэтому $\angle A=\angle ABM\text{.}$

Сумма углов треугольника $ABC\text{:}$

$$\angle A+\angle ABC+\angle C=180^{\circ },$$

а $\angle ABC=\angle ABM+\angle MBC=\angle A+\angle C\text{.}$ Тогда

$$\angle A+(\angle A+\angle C)+\angle C=180^{\circ }\Rightarrow 2\angle A+2\angle C=180^{\circ }\Rightarrow \angle A+\angle C=90^{\circ }.$$

Отсюда $\angle A=90^{\circ }-57^{\circ }=33^{\circ }.$

Ответ: 33.