Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне AD. Докажите, что M — середина AD.

В параллелограмме ABCD стороны AD и BC параллельны, а AB = CD. Треугольник ABM равнобедренный. BM — биссектриса угла B, поэтому ABM = MBC. Так как AD BC, а BM — секущая, то углы MBC и AMB — накрест лежащие, значит AMB = MBC. Отсюда ABM = AMB, то есть треугольник ABM равнобедренный и AM = AB. Треугольник DCM равнобедренный. Аналогично, CM — биссектриса угла C, поэтому DCM = MCB. Из AD BC и секущей CM: DMC = MCB. Значит DCM = DMC, треугольник DCM равнобедренный и MD = CD. Вывод. В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD. Следовательно, AM = AB = CD = MD, то есть AM = MD. Точка M лежит на стороне AD и делит её на две равные части, значит M — середина AD. Ответ: доказано: AM = MD, M — середина AD. Доказательство: AM = AB = CD = MD, значит M — середина AD.

Доказательство