Задача №19110

Биссектрисы углов $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются
в точке $M\text{,}$ лежащей на стороне $AD\text{.}$ Докажите, что $M$ — середина $AD\text{.}$

В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны, а $AB=CD\text{.}$

1. Треугольник $ABM$ равнобедренный.

$BM$ — биссектриса угла $B\text{,}$ поэтому $\angle ABM=\angle MBC\text{.}$

Так как $AD\parallel BC\text{,}$ а $BM$ — секущая, то углы $\angle MBC$ и $\angle AMB$ — накрест лежащие, значит $\angle AMB=\angle MBC\text{.}$

Отсюда $\angle ABM=\angle AMB\text{,}$ то есть треугольник $ABM$ равнобедренный и

2. Треугольник $DCM$ равнобедренный.

Аналогично, $CM$ — биссектриса угла $C\text{,}$ поэтому $\angle DCM=\angle MCB\text{.}$

Из $AD\parallel BC$ и секущей $CM\text{:}$ $\angle DMC=\angle MCB\text{.}$

Значит $\angle DCM=\angle DMC\text{,}$ треугольник $DCM$ равнобедренный и

3. Вывод.

В параллелограмме противоположные стороны равны: $AB=CD\text{.}$ Следовательно,

то есть $AM=MD\text{.}$ Точка $M$ лежит на стороне $AD$ и делит её на две равные части, значит $M$ — середина $AD\text{.}$

Ответ: доказано: $AM=MD\text{,}$ $M$ — середина $AD\text{.}$

Доказательство: $AM=AB=CD=MD\text{,}$ значит $M$ — середина $AD\text{.}$