Постройте график функции y=((x^(2) -x)* |x|)/(x-1). Определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Область определения и упрощение. Знаменатель не равен нулю: x-1!= 0, то есть x!= 1. В числителе вынесем общий множитель: x^(2)-x=x(x-1). Тогда при x!= 1 y=(x(x-1)*|x|)/(x-1)=x|x| . Раскрытие модуля. y=x|x|=cases x^(2), & x>= 0,[2pt] -x^(2), & x<0.cases Значит, график — это правая ветвь параболы y=x^(2) при x>= 0 и ветвь параболы y=-x^(2) при x<0; обе ветви сходятся в начале координат (0;0). Из графика выколота точка с абсциссой x=1, то есть точка (1;1), так как x=1 не входит в область определения. Прямая y=m. На промежутке x>= 0 функция y=x^(2) возрастает и принимает все значения y>= 0; на промежутке x<0 функция y=-x^(2) возрастает и принимает все значения y<0. Следовательно, функция y=x|x| строго возрастает на всей числовой прямой и каждое значение m принимает ровно один раз: уравнение x|x|=m имеет единственный корень при любом m. Поэтому прямая y=m пересекает график ровно в одной точке для всех m, кроме того случая, когда этой единственной точкой оказывается выколотая точка (1;1). Это происходит при m=1. Проверка: при m=1 уравнение x|x|=1 даёт x^(2)=1, x>= 0, то есть x=1 — но эта точка выколота, других решений нет. Значит, общих точек с графиком нет. Ответ: m=1.

m = 1