Задача №19109

Постройте график функции

$y=\frac{(x^2-x)\cdot |x|}{x-1}\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком
ни одной общей точки.

1. Область определения и упрощение.

Знаменатель не равен нулю: $x-1\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne 1\text{.}$

В числителе вынесем общий множитель: $x^2-x=x(x-1)\text{.}$ Тогда при $x\ne 1$

$$y=\frac{x(x-1)\cdot |x|}{x-1}=x|x|.$$

2. Раскрытие модуля.

$$y=x|x|=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\ge 0,\\ -x^2,& x<0.\end{array}$$

Значит, график — это правая ветвь параболы $y=x^2$ при $x\ge 0$ и ветвь параболы $y=-x^2$ при $x<0\text{;}$ обе ветви сходятся в начале координат $(0;0)\text{.}$ Из графика выколота точка с абсциссой $x=1\text{,}$ то есть точка $(1;1)\text{,}$ так как $x=1$ не входит в область определения.

3. Прямая $y=m\text{.}$

На промежутке $x\ge 0$ функция $y=x^2$ возрастает и принимает все значения $y\ge 0\text{;}$ на промежутке $x<0$ функция $y=-x^2$ возрастает и принимает все значения $y<0\text{.}$ Следовательно, функция $y=x|x|$ строго возрастает на всей числовой прямой и каждое значение $m$ принимает ровно один раз: уравнение $x|x|=m$ имеет единственный корень при любом $m\text{.}$

Поэтому прямая $y=m$ пересекает график ровно в одной точке для всех $m\text{,}$ кроме того случая, когда этой единственной точкой оказывается выколотая точка $(1;1)\text{.}$ Это происходит при $m=1\text{.}$

Проверка: при $m=1$ уравнение $x|x|=1$ даёт $x^2=1\text{,}$ $x\ge 0\text{,}$ то есть $x=1$ — но эта точка выколота, других решений нет. Значит, общих точек с графиком нет.

Ответ: $m=1\text{.}$