Задача №19092

Диагональ прямоугольника образует угол $51^{\circ }$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD\text{,}$ а $\angle CAB=51^{\circ }$ — угол между диагональю и стороной $AB\text{.}$

1. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $OA=OB=\frac{1}{2}AC\text{.}$ Значит, треугольник $AOB$ — равнобедренный с основанием $AB\text{.}$
2. Углы при основании равны: $\angle OAB=\angle OBA=51^{\circ }\text{.}$
3. По сумме углов треугольника $AOB\text{:}$

$$\angle AOB=180^{\circ }-2\cdot 51^{\circ }=78^{\circ }.$$

4. Угол $\angle AOB=78^{\circ }<90^{\circ }$ — он и есть острый угол между диагоналями.

Ответ: $78\text{.}$