Задача №19085

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 2 и 32, $BD=8\text{.}$ Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Рассмотрим треугольники $CBD$ и $BDA\text{.}$

1. Равенство углов. Так как $BC$ и $AD$ — основания трапеции, то $BC\parallel AD\text{.}$ Диагональ $BD$ — секущая для этих параллельных прямых, поэтому накрест лежащие углы равны:

2. Пропорциональность сторон, образующих эти углы. Угол $CBD$ в первом треугольнике заключён между сторонами $BC$ и $BD\text{,}$ а равный ему угол $BDA$ во втором треугольнике — между сторонами $DB$ и $DA\text{.}$ Найдём отношения этих сторон:

Значит,

3. Вывод. Треугольники $CBD$ и $BDA$ имеют по равному углу ($\angle CBD=\angle BDA$), заключённому между пропорциональными сторонами. По второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними) треугольники подобны:

Что и требовалось доказать.

Доказано: $△CBD\sim △BDA$ по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (коэффициент подобия $1:4$).