Задача №19083

Постройте график функции

$y=\frac{(0,5x^2-x)\cdot |x|}{x-2}\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком
ни одной общей точки.

1. Упрощаем формулу.

Область определения: $x\ne 2\text{.}$

В числителе вынесем множитель:

$$0,5x^2-x=0,5x(x-2).$$

Тогда при $x\ne 2$

$$y=\frac{0,5x(x-2)\cdot |x|}{x-2}=0,5x|x|.$$

2. Раскрываем модуль.

$$y=\{\begin{array}{ll}0,5x^2,& x\ge 0,\\ -0,5x^2,& x<0.\end{array}$$

Значит, график — это правая ветвь параболы $y=0,5x^2$ при $x\ge 0$ и левая ветвь параболы $y=-0,5x^2$ при $x<0$ (обе ветви сходятся в начале координат, кривая гладкая и монотонно возрастает на всей прямой).

3. Учитываем выколотую точку.

При $x=2$ функция не определена, а $0,5\cdot 2\cdot |2|=2\text{.}$ Значит, из графика выколота точка $(2;2)\text{.}$

4. Прямая $y=m\text{.}$

Функция $y=0,5x|x|$ строго возрастает и принимает все действительные значения, то есть каждая горизонтальная прямая $y=m$ пересекает полную кривую ровно один раз. Единственное значение, которое «теряется» из-за выколотой точки, — это $m=2\text{:}$ соответствующая точка пересечения имела бы абсциссу $x=2\text{,}$ а она исключена из области определения.

При всех остальных $m$ общая точка существует.

Ответ: $m=2\text{.}$