Постройте график функции y=((0,5x^(2) -x)* |x|)/(x-2). Определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Упрощаем формулу. Область определения: x != 2. В числителе вынесем множитель: 0,5x^(2)-x = 0,5x(x-2). Тогда при x != 2 y=(0,5x(x-2)* |x|)/(x-2)=0,5x|x|. Раскрываем модуль. y=cases0,5x^(2), & x>= 0, -0,5x^(2), & x<0.cases Значит, график — это правая ветвь параболы y=0,5x^(2) при x>= 0 и левая ветвь параболы y=-0,5x^(2) при x<0 (обе ветви сходятся в начале координат, кривая гладкая и монотонно возрастает на всей прямой). Учитываем выколотую точку. При x=2 функция не определена, а 0,5* 2*|2| = 2. Значит, из графика выколота точка (2;2). Прямая y=m. Функция y=0,5x|x| строго возрастает и принимает все действительные значения, то есть каждая горизонтальная прямая y=m пересекает полную кривую ровно один раз. Единственное значение, которое «теряется» из-за выколотой точки, — это m=2: соответствующая точка пересечения имела бы абсциссу x=2, а она исключена из области определения. При всех остальных m общая точка существует. Ответ: m = 2.

m = 2