Решите уравнение (x-4)^(4)-4(x-4)^(2)-21=0.

Задача №19073: Уравнения, неравенства и их системы

Уравнение биквадратное относительно выражения $(x - 4) .$ Сделаем замену $t = (x - 4)^{2},$ при этом $t \geq 0 .$

Шаг 1. Замена. Получаем квадратное уравнение

t^{2} - 4 t - 21 = 0.

Шаг 2. Решаем квадратное уравнение.

D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21) = 16 + 84 = 100, D = 10,

t_{1} = \frac{4 + 10}{2} = 7, t_{2} = \frac{4 - 10}{2} = - 3.

Шаг 3. Обратная замена. Корень $t_{2} = - 3$ не подходит, так как $t = (x - 4)^{2} \geq 0 .$

Из $t_{1} = 7$ получаем

(x - 4)^{2} = 7 ⟹ x - 4 = \pm 7 ⟹ x = 4 \pm 7 .

Проверка. При $(x - 4)^{2} = 7$ имеем $(x - 4)^{4} = 49,$ тогда $49 - 4 \cdot 7 - 21 = 49 - 28 - 21 = 0$ — верно.

Ответ: $4 - 7; 4 + 7 .$